Los edificios matemáticos, conocidos también como edificios de Tits, representan una fascinante confluencia entre la geometría, la combinatoria y la teoría algebraica. Este concepto fue introducido por Jacques Tits con la intención de comprender mejor la estructura de grupos algebraicos reductivos isotrópicos sobre campos arbitrarios. A partir de esa motivación inicial surgió una teoría rica y profunda que ha expandido el conocimiento en diversas ramas de las matemáticas modernas, incluyendo la teoría de grupos de Lie, la geometría algebraica, la topología y la teoría de representaciones. Un edificio matemático es, en su esencia, una estructura combinatoria y geométrica que generaliza ciertos aspectos fundamentales de objetos clásicos como las variedades de banderas, los planos proyectivos finitos y los espacios simétricos riemannianos. Estos edificios están conformados por complejos simpliciales que satisfacen ciertas condiciones axiomáticas, las cuales reflejan una fuerte simetría y regularidad, dado que cada edificio se construye mediante la unión de subcomplejos llamados apartamentos.
El papel central en la definición y comprensión de estos edificios lo juega un grupo de Coxeter, que es un tipo especial de grupo generado por reflexiones y que determina un complejo simplicial altamente simétrico conocido como complejo de Coxeter. Los apartamentos de los edificios son precisamente copias de estos complejos, ensamblados de manera que cumplan condiciones específicas de adyacencia y transitividad. Dependiendo de la naturaleza del grupo de Coxeter —finito o afín—, hablamos de edificios esféricos o afines. Los edificios esféricos están relacionados con complejos topológicos esféricos, mientras que los edificios afines están más ligados a subdivisiones de espacios afines, con propiedades geométricas que recuerdan a las de espacios euclidianos y a conceptos modernos de curvatura no positiva. Uno de los ejemplos emblemáticos en la teoría de edificios es el edificio asociado al grupo especial lineal SLn sobre un campo local no archimediano, como el grupo SLn(Qp) sobre los números p-ádicos.
En estos casos, cada apartamento puede entenderse geométricamente como una subdivisión del espacio euclidiano de dimensión n menos uno mediante simples recubrimientos simpliciales. Los vértices representan clases de equivalencia de redes o retículos, las cuales se relacionan a estructuras algebraicas fundamentales en la teoría de números y la geometría aritmética. La conexión entre la geometría de estos edificios y la teoría de grupos permite estudiar acciones de grupos p-ádicos mediante automorfismos del edificio, generando una profunda interacción entre álgebra y geometría. Más allá de su definición abstracta, los edificios cumplen un papel esencial en la estructuración y clasificación de grupos algebraicos. Las parejas (B, N) o sistemas Tits, que consisten en subgrupos que satisfacen ciertas propiedades, permiten recuperar el edificio asociado a un grupo y viceversa, estableciendo un puente conceptual que ayuda a entender estos grupos a través de su acción sobre un edificio.
Esta correspondencia hace posible que la geometría del edificio codifique información importante sobre la estructura del grupo, facilitando resultados como la determinación del grupo a partir de su edificio en rangos altos. En el ámbito geométrico, las propiedades métricas de los edificios, en particular los edificios afines, son igualmente sorprendentes. Poseen una métrica canónica que satisface la condición CAT(0), un concepto de curvatura no positiva que generaliza muchas propiedades del espacio euclidiano. Esta característica aporta a estos espacios particularidades geométricas, como la unicidad de geodésicas y notable rigidez, que se emplean en áreas como la teoría geométrica de grupos y la topología. Esta rigidez también conecta con importantes teoremas de teoría de grupos, como los resultados de Mostow y Margulis, acerca de la caracterización y restricciones en las representaciones de grupos discretos.
No todos los edificios tienen que estar necesariamente asociados a grupos. Por ejemplo, en rangos bajos aparecen construcciones que corresponden a propiedades combinatorias tipo planos proyectivos o polígonos generalizados, que forman clases importantes dentro de la geometría de incidencia pero que pueden no derivarse directamente de un grupo específico. Sin embargo, Jacques Tits demostró que en rango alto, específicamente para edificios esféricos de rango tres o más, existe una fuerte conexión con grupos algebraicos simples. Esto ha facilitado la clasificación de ciertos grupos y ha dado luz a un gran número de resultados en la teoría de grupos simples y algebraicos. Además de su relevancia en la estructura algebraica, los edificios también tienen aplicaciones en la teoría de representaciones de grupos, ayudando a descomponer y entender representaciones complejas a través del estudio de la geometría subyacente del edificio.
También influyen en la construcción y estudio de grupos de Kac-Moody, una clase avanzada de grupos de importancia en álgebra y física matemática. Estos desarrollos muestran que la teoría de edificios continúa siendo un área en evolución y con impacto multidisciplinario. Los trabajos de Bruhat y Tits extendieron la teoría original, estableciendo pautas para construir edificios afines a partir de grupos reductivos sobre campos locales no archimedianos. Estas construcciones generan complejos que reflejan la estructura algorítmica de los grupos y que permiten aplicar técnicas geométricas para analizar propiedades algebraicas profundas. Asimismo, en contextos particulares, como en la teoría de árboles de Bruhat-Tits con multiplicación compleja, los edificios adquieren estructuras adicionales que conectan con áreas tan variadas como la teoría de curvas modulares, operadores de Hecke y puntos especiales en geometría aritmética.
Estas construcciones amplían las posibilidades de aplicación de los edificios en problemas que van desde la teoría de números hasta la geometría algebraica y la teoría de funciones automórficas. En cuanto a la clasificación, Tits probó que los edificios irreducibles esféricos de rango mayor que dos pertenecen a grupos algebraicos simples, grupos clásicos o grupos especiales de tipo mixto, aunque en rangos bajos, la situación es más variada y existe una gran diversidad de ejemplos que no se generan a partir de grupos. Esta riqueza convierte la teoría de edificios en un campo flexible y adaptable, capaz de acomodar estructuras tanto algebraicas como combinatorias. Desde un punto de vista práctico, la teoría de edificios ha brindado nuevas herramientas para la geometría combinatoria, la teoría de grupos y la topología, permitiendo avanzar en problemas de clasificación, representaciones y rigidez. En geometría, estos edificios ofrecen ejemplos de espacios no usuales con propiedades métricas singulares, siendo fuente de inspiración para el estudio de variedades con curvatura no positiva y grupos hiperbólicos.
Finalmente, el desarrollo y aplicación de los edificios en matemáticas ejemplifica una tendencia creciente hacia enfoques geométricos en problemas algebraicos y combinatorios. Su estudio continúa abriendo caminos en áreas modernas de investigación fomentando descoberturas que integran diferentes disciplinas, consolidando el papel de los edificios como una herramienta fundamental en la matemática contemporánea.
